Microsoft Word - Nuovi criteri di divisibilità.doc 47 NUOVI CRITERI DI DIVISIBILITÀ BRUNO BIZZARRI, FRANCO EUGENI, DANIELA TONDINI1 1. – Su tutti i testi scolastici di Scuola Media, nonostante siano riportati i criteri di divisibilità per i numeri 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, viene omesso, com’è immediato constatare, il criterio di divisibilità sia per 7 che per i successivi valori 12, 13, etc. Ma allora esiste un criterio di divisibilità per 7? La risposta a tale domanda risulta essere affermativa anche se i vari criteri noti, sia per il 7 che per altri numeri, quali il 12 ed il 13, sono in generale difficili, non solo da applicare ma anche e soprattutto da ricordare. a) Il più noto ed antico criterio consiste nel prendere un numero in rappresentazione decimale, scriverlo in ordine inverso come vettorecifre e moltiplicarlo scalarmente, ovvero effettuando la somma dei prodotti cifra per cifra, per i numeri della sequenza 1, 3, 2, 6, 4, 5 accorciata o ripetuta a seconda della lunghezza del vettore dato. Esempio 1. Il numero 219135 è divisibile per 7? Se consideriamo il numero, cifra per cifra, scritto al rovescio (5, 3, 1, 9, 1, 2) e lo moltiplichiamo scalarmente per la sequenza (1, 3, 2, 6, 4, 5), otteniamo:  5×1 + 3× 3 + 1× 2 + 9 × 6 + 1× 4 + 2 × 5 = 84 = 70 +14 = 7 × 10 + 2 che è divisibile per 7! Esempio 2. Il numero 2191 è divisibile per 7? Se consideriamo il numero, cifra per cifra, scritto al rovescio, ovvero (1, 9, 1, 2), e lo moltiplichiamo per (2, 6, 4, 5), otteniamo: 1× 2 + 9× 6 +1× 4 + 2 × 5 = 70 = 7 ×10 (divisibile per 7!) o ancora: 1×1 + 9 × 3 +1× 2 + 2 × 6 = 42 = 7 × 6 (divisibile per 7!) Esempio 3. Il numero 1753087 è divisibile per 7? Se consideriamo il numero, cifra per cifra, scritto al rovescio, ovvero (7, 8, 0, 3, 5, 7, 1), e lo moltiplichiamolo per (1, 3, 2, 6, 4, 5, 1), otteniamo: 7 ×1 + 8× 3 + 0 × 2 + 3× 6 + 5× 4 + 7 × 5 +1×1 = 105 = 7 ×15 (divisibile per 7!) b) Un ulteriore criterio consiste nel rovesciare sempre il numero, utilizzando, però, una sequenza più riduttiva, precisamente 1, 3, 2, 1, 3, 2. Esempi. Il numero 219135 è divisibile per 7 se e solo se lo è:    5, 3,1, 9,1, 2 1, 3, 2, 1, 3, 2 5 9 2 9 3 4 0 7 0             (divisibile per 7!) 1 Dipartimento di Scienze della Comunicazione – Università degli Studi di Teramo eugenif@tin.it, dtondini@unite.it 48 Il numero 2191 è divisibile per 7 se e solo se lo è:    1, 9,1, 2 1, 3, 2, 1 1 27 2 2 28 7 4         (divisibile per 7!) Il numero 1753087 è divisibile per 7 se e solo se lo è:    7,8, 0, 3, 5, 7,1 1, 3, 2, 1, 3, 2,1 7 24 0 3 15 14 1 0 7 0              (divisibile per 7!) c) Un altro criterio, attribuito a David SENCE (The Mathematical Gazette, 1956) anche se, in realtà, era già stato scoperto dal russo Andrej ZIBOSKI (cfr. E. Dickson, History of Theory of Numbers), consiste nel sottrarre al numero originario, privato della sua ultima cifra, il doppio dell’ultima cifra stessa, iterando il ragionamento fino a quando non si ha la certezza di trovarsi di fronte ad un numero divisibile per 7. Esempio. Il numero 2191 è divisibile per 7 se e solo se lo è 219 2 1 217   che, a sua volta, è divisibile per 7 se e solo se lo è 21 2 7 7   (divisibile per 7!). Scopo della presente nota è di illustrare, non solo un semplice criterio di divisibilità per 7, a nostro avviso sconosciuto e la cui dimostrazione risulta banale, ma anche una sua estensione, altrettanto facile, a casi più generali (cfr. paragrafo 3). Possiamo enunciare suddetto criterio, applicabile ad un numero di almeno tre cifre, essendo il caso di due cifre ovvio, nel modo seguente: Criterio di divisibilità per 7. Un numero (in rappresentazione decimale) 1 2 1 0...n nN C C C C C è divisibile per 7 se e solo se lo è il numero 1 0 1 22 ...n nC C C C C  , ovvero la somma tra le ultime due cifre a destra ed il doppio della parte residua. Esempio. Il numero 2191 è divisibile per 7 se solo se lo è 91 2 21 133   che, a sua volta, è divisibile per 7 se solo se lo è 33 2 1 35 7 5     (divisibile per 7!). Ancora il numero 219135 è divisibile per 7 se e solo se lo è 35 2 2191 4417   che, a sua volta, è divisibile per 7 se e solo se lo è 17 2 44 105   che, iterando il ragionamento, è divisibile per 7 se e solo se lo è 5 2 1 7   (divisibile per 7!). Nel paragrafo 2, dopo aver richiamato i classici criteri di divisibilità, derivanti dal cosiddetto Criterio Generale di Divisibilità, che denomineremo I Criterio, ci soffermeremo sulle difficoltà che siamo costretti ad affrontare più frequentemente. Nel paragrafo 3, invece, dopo aver dimostrato il criterio di divisibilità per 7, ci concentreremo sulle sue generalizzazioni, sì da giungere a quello che chiameremo II Criterio Generale di Divisibilità. Nel paragrafo 4, infine, porremo in risalto le varie conseguenze che ne discendono, illustrando anche ulteriori criteri di divisibilità. 49 2. – Com’è ben noto, se 0,1, 2,..., 9X  è la base per la numerazione decimale, allora ogni numero naturale N si esprime, in modo unico, nella forma seguente:   1 21 2 1 0 1 2 1 010... 10 10 ... 10 10 n n n n n nN C C C C C C C C C C          Nel presente paragrafo richiameremo la teoria della divisibilità rispetto ad una base di numerazione così come essa si deduce dalla teoria delle congruenze e del gaussiano. Allo scopo ricordiamo alcune definizioni. Siano dati i numeri naturali m, a ed 'a . Allora scrivere che  ' mod a a m (si legge a congruo ad 'a modulo m) significa dire che a ed 'a , divisi per m, hanno lo stesso resto. Ciò premesso ricordiamo che si chiama gaussiano in base a di m il numero:       , , min t.c. 1 mod xg m a gauss m a x a m   Sia data ora la successione: 2 31, , , ,..., ,...na a a a e sia 0 1 21, , ,..., ,...nR R R R la successione dei resti della divisione per m di tali numeri. Se 1m è il più grande divisore di m costituito da fattori primi di a (in altre parole i fattori primi di a, comuni ad m, ma elevati all’esponente massimo con cui dividono m), allora: Teorema 1. La successione dei resti sopra indicati è in generale periodico-mista con antiperiodo A e periodo G dati rispettivamente da:   1min t.c. 0 mod xA x a m  1 , m G gauss a m        N.B. Se a ed m sono primi tra loro allora 1 1, 0,m A G g   ; la sequenza dei resti arriva fino all’indice 1g  ed inizia a ripetersi in corrispondenza dell’indice g, essendo 0g h hR R  . Segue, in tal caso, che i resti che formano il periodo sono esattamente: 0 1 2 11, , ,..., gR R R R  Osservazione. Nel caso in cui sia 10a  (base decimale), allora  R è:  periodica semplice se m è primo con 2 ovvero con 5;  periodico composta se m è divisibile per 2 ovvero per 5. 50 Vediamo due esempi significativi: a) Sia 3m  ed 10a  . Poiché  3;10 1 occorre calcolare    , 3,10g g m a g  ovvero   min t.c. 10 1 mod 3xx  . Poiché 110 1 9  segue che è 1g  e che il periodo è costituito dal solo 0 1R  . b) Sia 4m  ed 10a  . Risulta 1 4m  , per cui dobbiamo calcolare:   min t.c. 10 0 mod 4xA x      1,10 min t.c. 10 1 mod 1xG gauss x   Quindi: 2A x  e 1G x  . I resti sono: 1, 2, 0, 0, 0,... Nel seguito conviene, per le prime potenze del 10, effettuare le divisioni per 2, 3, 4, 5, 6,...m  per ottenere la tabella che segue dalla quale si deducono vari criteri di divisibilità. Accanto al resto R porremo anche R m nel caso in cui questi sia, in valore assoluto, inferiore ad R, essendo:   mod R m R m  In realtà il ricorso al Teorema 1 occorre solo se l’analisi procede per molti numeri, specie nei casi di gaussiano di grandi dimensioni. TABELLA Resti mod 2:    1, 0, 0, 0,...,1, 0R   antiperiodo = (1); periodo = (0) Resti mod 3:    1,1,1,1,...,1, 1R   periodo = (1) Resti mod 4:    1, 2, 0, 0,..., 0R   antiperiodo = (1, 2); periodo = (0) Resti mod 5:    1, 0, 0, 0,...,1, 0R   antiperiodo = (1); periodo = (0) Resti mod 6:    1, 4, 4, 4,..., 4, 4R   antiperiodo = (1); periodo = (4) = (2) Resti mod 7:   1, 3, 2, 6, 4, 5,...R   periodo = (1, 3, 2, 6, 4, 5) ovvero   1, 3, 2, 1, 3, 2,...R     utilizzando anche resti negativi  m R Resti mod 8:   1, 2, 4, 0, 0, 0,...R   antiperiodo = (1, 2, 4); periodo = (0) ovvero   1, 3, 2, 1, 3, 2,...R     utilizzando anche resti negativi  m R Resti mod 9:    1,1,1,1,...,1, 1R   periodo = (1) Resti mod 10:    1, 0, 0, 0,...,1, 0R   antiperiodo = (1); periodo = (0) Resti mod 11:   1,10,1,10,1,10,...R   periodo = (1, 10) ovvero   1, 1,1, 1,1, 1,...R     utilizzando anche resti negativi  m R Resti mod 12:   1,10, 4, 4, 4, 4,...R   antiperiodo = (1, 10); periodo = (4) ovvero   1, 2, 4, 4, 4, 4,...R   utilizzando anche resti negativi  m R Resti mod 13:   1,10, 9,12, 3, 4,...R   periodo = (1, 10, 9, 12, 3, 4) ovvero   1, 3, 4, 1, 3, 4,...R     utilizzando anche resti negativi  m R 51 Se ora vogliamo individuare dei criteri affinché un altro numero naturale m sia un divisore di:   1 21 2 1 0 1 2 1 010... 10 10 ... 10 10 n n n n n nN C C C C C C C C C C          dobbiamo, in generale, studiare il comportamento degli elementi della successione 2 11,10,10 ,...,10 ,10 ,...n n qualora ciascuno di essi venga diviso per m, ed in particolare, valutare la successione dei resti della divisione di tali elementi per l’intero m. A riguardo, denotata la successione dei resti e quella delle cifre rispettivamente con:   0 1 2 11, , ,..., , ,...n nR R R R R R  e quella delle cifre con:   0 1 2 1, , ,..., , ,...n nC C C C C C possiamo richiamare il seguente Teorema, oramai ben noto in letteratura, la cui dimostrazione è banale. Teorema 2 (Primo Criterio Generale di Divisibilità). Dato il numero naturale: 1 2 1 2 1 0 1 2 1 0... 10 10 ... 10 10 n n n n n nN C C C C C C C C C C          risulta che N è divisibile per m se è solo se lo è l’intero     0 0 1 1 2 2 1 1... n n n nC R C R C R C R C R C R        . N.B. Ogni singolo hR può banalmente sostituirsi con hR m . Esempio 1. 1 2 1 0...n nN C C C C C è divisibile per 2 (ovvero per 5, ovvero per 10 ) se e solo se lo è: 0 1 1 2 2 1 1... n n n nC C R C R C R C R      con   1, 0, 0, 0,..., 0,...R  cioè se e solo se lo è 0C . Esempio 2. 1 2 1 0...n nN C C C C C è divisibile per 3 (ovvero per 9) se e solo se lo è: 0 1 1 2 2 1 1... n n n nC C R C R C R C R      con   1,1,1,1,...,1,...R  , cioè se e solo se lo è la somma delle cifre. Esempio 3. 1 2 1 0...n nN C C C C C è divisibile per 4 se e solo se lo è: 0 1 1 2 2 1 1... n n n nC C R C R C R C R      con   1, 2, 0, 0,..., 0,...R  , cioè se e solo è divisibile per 4 il complesso delle ultime due cifre a destra, che lo è se lo è il numero 0 12C C . Esempio 4. 1 2 1 0...n nN C C C C C è divisibile per 6 se e solo se lo è: 0 1 1 2 2 1 1... n n n nC C R C R C R C R      con   1, 4, 4, 4,..., 4,...R  , cioè se e solo se lo è la somma tra l’ultima cifra a destra e quattro volte la somma delle rimanenti, ovvero  0 1 24 ... nC C C C    . Esempio 5. 1 2 1 0...n nN C C C C C è divisibile per 7 se e solo se lo è: 0 1 1 2 2 1 1... n n n nC C R C R C R C R      con   1, 3, 2, 1, 3, 2,...R     52 Esempio 6. 1 2 1 0...n nN C C C C C è divisibile per 8 se e solo se lo è: 0 1 1 2 2 1 1... n n n nC C R C R C R C R      con   1, 2, 4, 0, 0, 0,...R  , cioè se e solo è divisibile per 8 il complesso delle ultime tre cifre a destra, che lo è se lo è il numero 0 1 22 4C C C  . Esempio 7. 1 2 1 0...n nN C C C C C è divisibile per 11 se e solo se lo è: 0 1 1 2 2 1 1... n n n nC C R C R C R C R      con   1, 1,1, 1,...R    , cioè se e solo se lo è la somma delle cifre pari meno quella delle cifre dispari. Esempio 8. 1 2 1 0...n nN C C C C C è divisibile per 12 se e solo se lo è: 0 1 1 2 2 1 1... n n n nC C R C R C R C R      con   1, 2, 4, 4, 4, 4,...R   Esempio 9. 1 2 1 0...n nN C C C C C è divisibile per 13 se e solo se lo è: 0 1 1 2 2 1 1... n n n nC C R C R C R C R      con   1, 3, 4, 1, 3, 4,...R     Osserviamo che gli esempi 1, 2, ..., 7 rappresentano proprio i criteri citati in premessa, ivi compreso il criterio di divisibilità per 7; gli esempi 8 e 9, invece, esprimono i complicati criteri di divisibilità per 12 e per 13, derivanti dal primo criterio di divisibilità. 3. – Nel presente paragrafo dimostreremo il criterio di divisibilità per 7, già enunciato nel paragrafo 1. In realtà, però, proveremo un po’ di più, precisamente il seguente: Teorema (Secondo criterio generale di divisibilità). Sia dato un numero naturale N rappresentato, rispetto ad una base 0,1,..., 1X X  , da:   1 21 2 1 0 1 2 1 0... ...n nn n n nXN C C C C C C X C X C X C X C          Allora N è divisibile per m se è solo se lo è l’intero:     1 1 1 2 1 0... ...r n n r r rX XM X km C C C C C C C C     dove k è un intero arbitrario, quindi, in particolare, il più grande intero tale: 0 r r XX km k m           Dimostrazione. Sia m un divisore di N. Allora: 1 1 2 1 1 2 1 0... ... n n r r n n r rN hm C X C X C X C X C X C X C                11 1 2 1 0... ...r n r n rn n r r XX C X C X C C C C C                 1 1 2 1 0 1... ... ...n n r n n n n rX X Xhm km C C C C C C C C km C C C           1 1 1... ... ...r n n r n n r n n rX X XX C C C C C C km C C C          1 1... ...r n n r n n rX XX km C C C C C C M     Dunque m è un divisore di M. 53 Supponiamo ora che m divida M. Allora:     1 1... ...r n n r n n rX XM sm X km C C C C C C     da cui segue:        1 1 1 1... ... ... ...rn n r n n r n n r n n rX X X XM km C C C sm km C C C X C C C C C C N         Dunque l’asserto è verificato. Osserviamo, in ultima analisi che il precedente teorema vale, non solo per una base qualsiasi, e quindi in particolare per la base 10, ma anche per un indice qualsiasi 2r  e per un k qualsiasi, quindi anche per la suddetta parte intera. 4. – Nuovi Criteri a) Criterio di divisibilità per 7. Per 1 9X   , 7m  , 2r  e 14k  , ritroviamo il teorema enunciato nel primo paragrafo, essendo  210 7 2 0k   . b) Criterio di divisibilità per 13. Per 1 9X   , 13m  , 2r  e 7k  , otteniamo  210 13 9 0k   ; per 8k  , invece, abbiamo  210 13 4 0k    . Possiamo, quindi, enunciare il criterio di divisibilità per 13 nel modo seguente: Un numero (in rappresentazione decimale) 1 2 1 0...n nN C C C C C è divisibile per 13 se e solo se lo è il numero 1 0 1 29 ...n nC C C C C  [somma tra le ultime due cifre a destra e nove volte la parte residua], ovvero se e solo se lo è il numero 1 0 1 24 ...n nC C C C C  [differenza tra le ultime due cifre a destra e quattro volte la parte residua]. Esempi. 1 9X   ; 7m  ; 2r  ; 2 14 13 X k m         (si parte allora dal successivo!!!) 1 9X   ; 8m  ; 2r  ; 2 12 X k m        ;  2 4X km  ; 1 0 1 24 ...n nC C C C C 1 9X   ; 9m  ; 2r  ; 2 11 X k m        ;  2 1X km  ; 1 0 1 2...n nC C C C C 1 9X   ; 10m  ; 2r  ; 10k  ;  2 0X km  ; 1 0C C 1 9X   ; 11m  ; 2r  ; 9k  ;  2 1X km  ; 1 0 1 2...n nC C C C C 1 9X   ; 12m  ; 2r  ; 8k  ;  2 4X km  ; 1 0 1 24 ...n nC C C C C 1 9X   ; 13m  ; 2r  ; 7k  ;  2 9 4X km    ; 1 0 1 2 1 0 1 29 ... 4 ...n n n nC C C C C C C C C C    1 9X   ; 14m  ; 2r  ; 7k  ;  2 2X km  ; 1 0 1 22 ...n nC C C C C 1 9X   ; 15m  ; 2r  ; 6k  ;  2 10 5X km    ; 1 0 1 25 ...n nC C C C C 1 9X   ; 16m  ; 2r  ; 6k  ;  2 4X km  ; 1 0 1 24 ...n nC C C C C 1 9X   ; 17m  ; 2r  ; 5k  ;  2 15 2X km    ; 1 0 1 22 ...n nC C C C C 1 9X   ; 18m  ; 2r  ; 5k  ;  2 10 8X km    ; 1 0 1 28 ...n nC C C C C 54 1 9X   ; 19m  ; 2r  ; 5k  ;  2 5X km  ; 1 0 1 25 ...n nC C C C C 1 9X   ; 20m  ; 2r  ; 5k  ;  2 0X km  ; 1 0C C 1 9X   ; 21m  ; 2r  ; 4k  ;  2 16X km  ; 1 0 1 25 ...n nC C C C C 1 9X   ; 22m  ; 2r  ; 4k  ;  2 12X km  ; 1 0 1 210 ...n nC C C C C 1 9X   ; 23m  ; 2r  ; 4k  ;  2 8X km  ; 1 0 1 28 ...n nC C C C C 1 9X   ; 24m  ; 2r  ; 4k  ;  2 4X km  ; 1 0 1 24 ...n nC C C C C 1 9X   ; 25m  ; 2r  ; 4k  ;  2 0X km  ; 1 0C C 1 9X   ; 26m  ; 2r  ; 3k  ;  2 22X km  ; 1 0 1 24 ...n nC C C C C 1 9X   ; 27m  ; 2r  ; 3k  ;  2 19X km  ; 1 0 1 28 ...n nC C C C C 1 9X   ; 28m  ; 2r  ; 3k  ;  2 16X km  ; 1 0 1 212 ...n nC C C C C 1 9X   ; 29m  ; 2r  ; 3k  ;  2 13X km  ; 1 0 1 213 ...n nC C C C C 1 9X   ; 30m  ; 2r  ; 3k  ;  2 10X km  ; 1 0 1 210 ...n nC C C C C 1 9X   ; 31m  ; 2r  ; 3k  ;  2 7X km  ; 1 0 1 27 ...n nC C C C C 1 9X   ; 32m  ; 2r  ; 3k  ;  2 4X km  ; 1 0 1 24 ...n nC C C C C 1 9X   ; 33m  ; 2r  ; 3k  ;  2 1X km  ; 1 0 1 2...n nC C C C C 1 9X   ; 34m  ; 2r  ; 2k  ;  2 32X km  ; 1 0 1 22 ...n nC C C C C 1 9X   ; 35m  ; 2r  ; 2k  ;  2 30X km  ; 1 0 1 25 ...n nC C C C C 1 9X   ; 36m  ; 2r  ; 2k  ;  2 28X km  ; 1 0 1 28 ...n nC C C C C 1 9X   ; 37m  ; 2r  ; 2k  ;  2 26X km  ; 1 0 1 211 ...n nC C C C C 1 9X   ; 38m  ; 2r  ; 2k  ;  2 24X km  ; 1 0 1 214 ...n nC C C C C 1 9X   ; 39m  ; 2r  ; 2k  ;  2 22X km  ; 1 0 1 217 ...n nC C C C C 1 9X   ; 40m  ; 2r  ; 2k  ;  2 20X km  ; 1 0 1 220 ...n nC C C C C 1 9X   ; 41m  ; 2r  ; 2k  ;  2 18X km  ; 1 0 1 218 ...n nC C C C C 1 9X   ; 42m  ; 2r  ; 2k  ;  2 16X km  ; 1 0 1 216 ...n nC C C C C 1 9X   ; 43m  ; 2r  ; 2k  ;  2 14X km  ; 1 0 1 214 ...n nC C C C C 1 9X   ; 44m  ; 2r  ; 2k  ;  2 12X km  ; 1 0 1 212 ...n nC C C C C 1 9X   ; 45m  ; 2r  ; 2k  ;  2 10X km  ; 1 0 1 210 ...n nC C C C C 1 9X   ; 46m  ; 2r  ; 2k  ;  2 8X km  ; 1 0 1 28 ...n nC C C C C 1 9X   ; 47m  ; 2r  ; 2k  ;  2 6X km  ; 1 0 1 26 ...n nC C C C C 1 9X   ; 48m  ; 2r  ; 2k  ;  2 4X km  ; 1 0 1 24 ...n nC C C C C 1 9X   ; 49m  ; 2r  ; 2k  ;  2 2X km  ; 1 0 1 22 ...n nC C C C C 1 9X   ; 50m  ; 2r  ; 2k  ;  2 0X km  ; 1 0C C 55 1 9X   ; 51m  ; 2r  ; 1k  ;  2 49X km  ; 1 0 1 22 ...n nC C C C C 1 9X   ; 52m  ; 2r  ; 1k  ;  2 48X km  ; 1 0 1 24 ...n nC C C C C 1 9X   ; 53m  ; 2r  ; 1k  ;  2 47X km  ; 1 0 1 26 ...n nC C C C C 1 9X   ; 54m  ; 2r  ; 1k  ;  2 46X km  ; 1 0 1 28 ...n nC C C C C 1 9X   ; 55m  ; 2r  ; 1k  ;  2 45X km  ; 1 0 1 210 ...n nC C C C C 1 9X   ; 56m  ; 2r  ; 1k  ;  2 44X km  ; 1 0 1 212 ...n nC C C C C 1 9X   ; 57m  ; 2r  ; 1k  ;  2 43X km  ; 1 0 1 214 ...n nC C C C C 1 9X   ; 58m  ; 2r  ; 1k  ;  2 42X km  ; 1 0 1 216 ...n nC C C C C 1 9X   ; 59m  ; 2r  ; 1k  ;  2 41X km  ; 1 0 1 218 ...n nC C C C C 1 9X   ; 60m  ; 2r  ; 1k  ;  2 40X km  ; 1 0 1 220 ...n nC C C C C 1 9X   ; 61m  ; 2r  ; 1k  ;  2 39X km  ; 1 0 1 222 ...n nC C C C C 1 9X   ; 62m  ; 2r  ; 1k  ;  2 38X km  ; 1 0 1 224 ...n nC C C C C 1 9X   ; 63m  ; 2r  ; 1k  ;  2 37X km  ; 1 0 1 226 ...n nC C C C C 1 9X   ; 64m  ; 2r  ; 1k  ;  2 36X km  ; 1 0 1 228 ...n nC C C C C 1 9X   ; 65m  ; 2r  ; 1k  ;  2 35X km  ; 1 0 1 230 ...n nC C C C C 1 9X   ; 66m  ; 2r  ; 1k  ;  2 34X km  ; 1 0 1 232 ...n nC C C C C 1 9X   ; 67m  ; 2r  ; 1k  ;  2 33X km  ; 1 0 1 233 ...n nC C C C C 1 9X   ; 68m  ; 2r  ; 1k  ;  2 32X km  ; 1 0 1 232 ...n nC C C C C 1 9X   ; 69m  ; 2r  ; 1k  ;  2 31X km  ; 1 0 1 231 ...n nC C C C C 1 9X   ; 70m  ; 2r  ; 1k  ;  2 30X km  ; 1 0 1 230 ...n nC C C C C 1 9X   ; 71m  ; 2r  ; 1k  ;  2 29X km  ; 1 0 1 229 ...n nC C C C C 1 9X   ; 72m  ; 2r  ; 1k  ;  2 28X km  ; 1 0 1 228 ...n nC C C C C 1 9X   ; 73m  ; 2r  ; 1k  ;  2 27X km  ; 1 0 1 227 ...n nC C C C C 1 9X   ; 74m  ; 2r  ; 1k  ;  2 26X km  ; 1 0 1 226 ...n nC C C C C 1 9X   ; 75m  ; 2r  ; 1k  ;  2 25X km  ; 1 0 1 225 ...n nC C C C C 1 9X   ; 76m  ; 2r  ; 1k  ;  2 24X km  ; 1 0 1 224 ...n nC C C C C 1 9X   ; 77m  ; 2r  ; 1k  ;  2 23X km  ; 1 0 1 223 ...n nC C C C C 1 9X   ; 78m  ; 2r  ; 1k  ;  2 22X km  ; 1 0 1 222 ...n nC C C C C 1 9X   ; 79m  ; 2r  ; 1k  ;  2 21X km  ; 1 0 1 221 ...n nC C C C C 1 9X   ; 80m  ; 2r  ; 1k  ;  2 20X km  ; 1 0 1 220 ...n nC C C C C 1 9X   ; 81m  ; 2r  ; 1k  ;  2 19X km  ; 1 0 1 219 ...n nC C C C C 1 9X   ; 82m  ; 2r  ; 1k  ;  2 18X km  ; 1 0 1 218 ...n nC C C C C 56 1 9X   ; 83m  ; 2r  ; 1k  ;  2 17X km  ; 1 0 1 217 ...n nC C C C C 1 9X   ; 84m  ; 2r  ; 1k  ;  2 16X km  ; 1 0 1 216 ...n nC C C C C 1 9X   ; 85m  ; 2r  ; 1k  ;  2 15X km  ; 1 0 1 215 ...n nC C C C C 1 9X   ; 86m  ; 2r  ; 1k  ;  2 14X km  ; 1 0 1 214 ...n nC C C C C 1 9X   ; 87m  ; 2r  ; 1k  ;  2 13X km  ; 1 0 1 213 ...n nC C C C C 1 9X   ; 88m  ; 2r  ; 1k  ;  2 12X km  ; 1 0 1 212 ...n nC C C C C 1 9X   ; 89m  ; 2r  ; 1k  ;  2 11X km  ; 1 0 1 211 ...n nC C C C C 1 9X   ; 90m  ; 2r  ; 1k  ;  2 10X km  ; 1 0 1 210 ...n nC C C C C 1 9X   ; 91m  ; 2r  ; 1k  ;  2 9X km  ; 1 0 1 29 ...n nC C C C C 1 9X   ; 92m  ; 2r  ; 1k  ;  2 8X km  ; 1 0 1 28 ...n nC C C C C 1 9X   ; 93m  ; 2r  ; 1k  ;  2 7X km  ; 1 0 1 27 ...n nC C C C C 1 9X   ; 94m  ; 2r  ; 1k  ;  2 6X km  ; 1 0 1 26 ...n nC C C C C 1 9X   ; 95m  ; 2r  ; 1k  ;  2 5X km  ; 1 0 1 25 ...n nC C C C C 1 9X   ; 96m  ; 2r  ; 1k  ;  2 4X km  ; 1 0 1 24 ...n nC C C C C 1 9X   ; 97m  ; 2r  ; 1k  ;  2 3X km  ; 1 0 1 23 ...n nC C C C C 1 9X   ; 98m  ; 2r  ; 1k  ;  2 2X km  ; 1 0 1 22 ...n nC C C C C 1 9X   ; 99m  ; 2r  ; 1k  ;  2 1X km  ; 1 0 1 2...n nC C C C C Si noti che se un numero 0...nN C C non è divisibile per m allora il resto della divisione di N per m è dato dal risultato dell’ultima divisione effettuata. Esempio. Il numero 1123 non è divisibile per 7. Operando con il criterio di divisibilità per 7, considerando che 2 11 23 45   e che 45 6 7 3   , risulta 1123 7 3   con 160  . 5. – Divisibilità per 3 Notiamo che un numero è divisibile per 3 se, comunque ripartito, il doppio della somma delle cifre della ripartizione di sinistra meno la somma delle cifre della ripartizione di destra è divisibile per 3. Dimostrazione. Sappiamo che un numero 0...nN C C è divisibile per 3 se e solo se lo è la somma delle sue cifre (decimali), cioè se e solo se lo è il numero 2 1 0...nM C C C C     . Consideriamo l’identità:      2 1 0 1 1 02 ... 2 ... 2 ...n n i iC C C C C C C C C                 1 1 0 1 1 02 ... ... 3 ...n i i iC C C C C C C C            che chiaramente prova l’asserto. 57 Esempio. Il numero 845322 (con 8 4 5 3 2 2 24      ; 2 4 6  !) è divisibile per 3: ripartito, infatti, in 84 e 5322, risulta:    2 8 4 5 3 2 2 24 12 12        , che è divisibile per tre. Bibliografia F. EUGENI – M.A. GARZIA – D. TONDINI, La divisibilità nell’anello degli interi relativi, in: www.apav.it (vedi: Comunicazione, Scienze e Società, voce numeri). A. CHIELLINI – R. GIANNARELLI, L’esame orale di Matematica nei concorsi a cattedre di scuole, Libreria Eredi Virgilio Veschi, Roma, 1962.