








key: cord-153905-qszvwqtj
authors: Bizet, Nana Cabo; Oca, Alejandro Cabo Montes de
title: Modelos SIR modificados para la evoluci'on del COVID19
date: 2020-04-23
journal: nan
DOI: nan
sha: 
doc_id: 153905
cord_uid: qszvwqtj

We study the SIR epidemiological model, with a variable contagion rate, applied to the evolution of COVID19 in Cuba. It is highlighted that an increase in the predictive character depends on understanding the dynamics for the temporal evolution of the rate of contagion $beta^*$. A semi-empirical model for this dynamics is formulated, where reaching $beta^*approx0$ due to isolation is achieved after the mean duration of the disease $tau=1/gamma$, in which the number of infected in the confined families has decreased. It is considered that $beta^*(t)$ should have an abrupt decrease on the day of initiation of confinement and decrease until canceling at the end of the interval $tau$. The analysis describes appropriately the infection curve for Germany. The model is applied to predict an infection curve for Cuba, which estimates a maximum number of infected as less than 2000 in the middle of May, depending on the rigor of the isolation. This is suggested by the ratio between the daily detected cases and the total. We consider the ratio between the observed and real infected cases (k) less than unity. The low value of k decreases the maximum obtained when $beta^*-gamma>0$. The observed evolution is independent of k in the linear region. The value of $beta^*$ is also studied by time intervals, adjusting to the data of Cuba, Germany and South Korea. We compare the extrapolation of the evolution of Cuba with the contagion rate until 16.04.20 with that obtained by a strict quarantine at the end of April. This model with variable $beta^*$ correctly describes the observed infected evolution curves. We emphasize that the desired maximum of the SIR infected curve is not the maximum standard with constant $beta^*$, but one achieved due to quarantine when $tilde R_0=beta^*/gamma<1$. For the countries controlling the epidemic the maxima are in the region in which SIR equations are linear.

La pandemia asociada la COVID 19 está siendo investigada con gran intensidad hoy día y la descripción de sus singulares propiedades ampliamente difundidas . El presente trabajo está dedicado a explorar aspectos de esta epidemia. Consideramos un modelo determinista empleado en el estudio de epidemias, el SIR (siglas de Susceptibles, Infectados y Recuperados). Los parámetros que controlan dichos modelos son β y γ. El primero define el número de personas susceptibles por unidad de tiempo que enferman por unidad de persona susceptible y por unidad de persona infectada. Este también se utiliza después de multiplicado por el número de la población, en las unidades β * = βN .

El segundo determina el número de personas por unidad de tiempo que se recuperan entre el número de personas infectadas. Estimamos que la aplicación del SIR en una efectiva predicción de los datos necesita la clarificación un aspecto central: el como estimar la dependencia temporal de los parámetros β y γ. En particular aquí nos enfocamos en el estudio de la evolución del primero de estos.

En la sección I se exponen las ecuaciones del modelo SIR y se presentan sus constantes para el caso de Cuba. Las soluciones obtenidas se ajustan a los datos de número de infectados activos que se reportan diariamente. Destacamos las condiciones en que se obtiene un máximo valor del número de infectados en circunstancias realistas. Dichas características son conocidas, pero creemosútil el insistir sobre ellas, se destaca que siempre que las ecuaciones indican infección, se cumple β * > γ. En esa situación el máximo del número de infectados siempre alcanza un valor del orden de la población N , lo que para Cuba resultaría en millones. Resaltamos que esos máximos, no son los que se reportan en los países que actualmente rebasan la epidemia (por ej. China, Corea del Sur y Alemania), los cuales presentan máximos del número de infectados mucho menores que la población.

En la sección II se considera el mismo modelo SIR pero en el cual se introduce una ya reconocida propiedad de la presente epidemia: la razón k entre el número de infectados observados (por los sistemas de salud) y el total de infectados, es un número que se estima en el intervalo de 0.1 a 0.2 [5, 12] . En esta sección se muestran las curvas solución después de ajustar los datos para los infectados reales con los datos observados después de divididos por k. Los enormes números máximos de enfermos observados se reducen a medida que k disminuye. Este efecto es una consecuencia directa de la no linealidad del sistema de ecuaciones. Si el sistema fuera linear el máximo no debería cambiar, pues al variar las condiciones iniciales en ser divididas por k, la solución para el número total sería proporcional a la anterior. Luego, después de multiplicar por k el máximo número de infestados totales para obtener el observado, se volvería a obtener el mismo valor. Sin embargo, como el sistema de ecuaciones es no lineal (el número de infectados no puede sobrepasar la población del país) la no linealidad resulta capaz de reducir el máximo. Sin embargo nuestro interés son las condiciones realistas donde el máximo está muy lejos de acercarse a la población del país, por lo tanto estamos en la región lineal. Esto significa que nuestra predicción para infectados y recuperados observados si k es constante es independiente de su valor. En la sección III discutimos las condiciones de aparición de esos máximos reducidos.

La sección III comienza discutiendo las soluciones del sistema SIR en los casos de que el número de infectados I es mucho más pequeño que la población N . En esta situación el número de susceptibles en esa etapa se puede aproximar por la población del país N . Se presenta entonces las conocidas soluciones explícitas del problema para β y γ constantes.

Estas son exponenciales cuyo tiempo característico de crecimiento o decrecimiento es determinado por elúnico número β * −γ. Si esta cantidad es positiva la solución del problema crece indefectiblemente, independiente de los valores de I y R en el momento dado. Esta es una propiedad importante de la dinámica considerada. Para que I decrezca en esta zona de bajos valores (I ≪ N ) es estrictamente necesario que los valores locales de β − γ resulten negativos o que el parámetro (R 0 < 1). Por tanto, en todos los países en que se ha logrado la recuperación lo que se ha alcanzado son valores negativos de esta cantidad.

Sin embargo, aunque el país imponga aislamiento total a partir de cierto día, las curvas de infectados en ningún caso comienzan a bajar. Parece lógico suponer que esas medidas deben forzar la validez de la condición β = 0, o sea, ausencia de transmisibilidad. Las causas de esta aparente contradicción se analizan en la siguiente sección. Cuba, considerando dos escenarios: En el primero la tasa de contagio continua siendo la tasa al día de hoy (16 de Abril 2020), la epidemia se extendería a junio y los enfermos detectados en el pico rondarían los 500,000. En el segundo escenario a finales de abril la cuarentena estricta lograR 0 < 1 y por tanto el pico de la epidemia se alcanza en mayo, y los enfermos detectados en el pico rondan los varios miles (más de 3000). Se comprueba que la cuarentena en el caso de Alemania y Corea del Sur ya alcanzó la regiónR 0 < 1 (β * − γ < 0), que es lo deseado. Estosúltimos resultados enfatizan la importancia de una cuarentena estricta. Todo lo anterior se resume en nuestra conclusiones en laúltima sección.

El modelo"Suceptible Infected Recovered" (SIR) es uno de los más sencillos y claves en los estudios epidemiológicos para la propagación de enfermedades [1] . En el mismo la población total N se divide en tres grupos: suceptibles S, infectados I y recuperados R.

Denominemos por N la poblacion del país considerado. Las ecuaciones diferenciales del modelo que gobiernan la evolución de la epidemia están dadas por 

Las unidades deβ = βN 2 = β * N están dadas por [β] = P/T . También emplearemos β * = β * N con unidades [β * ] = 1/T .

Algo a destacar es que las magnitudes S, I y R en las ecuaciones (1,2,3) son los números de personas susceptibles, infectadas y recuperadas que existen realmente en toda la población. Sin embargo, los datos de que se disponen para resolver las ecuaciones a partir de sus condiciones iniciales, en muchos casos son solo la población total del país y los números de infectados y recuperados que detecta el sistema de Salud. En esta sección consideraremos que de los datos observados, elúnico que es exacto es la población del país que define a S al inicio. Se toma en cuenta una población de 12 millones de personas para Cuba y de 83 millones para Alemania.

A medida de comenzar con un modelo de juguete, consideremos los datos presentados En el panel de arriba, la curva azul corresponde a los susceptibles, la naranja a los recuperados y la amarilla a los infectados activos. Los números obtenidos son gigantescos, porque no se considera el efecto de la cuarentena en la disminución de β * , ni el hecho de que sólo se detectan a nivel mundial del orden del 10% de los casos. El panel de abajo muestra un intervalo de tiempo más pequeño.

Esta dependencia se obtiene ajustando a los datos experimentales, es decir la dependencia de los infectados activos en términos del tiempo al comienzo de la epidemia. Se considera una tasa de detección del 100 porciento. Esto es una valoración muy primitiva de la pandemia, que debe corregirse tomando una tasa de detección del orden del 10%

[12] y en nuestra opinión considerando valores variables de β para reflejar las medidas de contención. Los resultados se muestran en la figura 1.

Consideremos ahora que el número total de personas infectadas I(t) se desconoce.

Esto sucede debido a que hay personas que enferman y sanan sin ser reportadas, debido a presentar síntomas leves, denotemos por I o (t) al número de personas infectadas observado.

La relación k entre I 0 (t) e I(t) asumiremos que es una constante estimada en la literatura [5, 12] por lo cual

donde r es la razón entre el número de infectados observados y el número de los no observados, la cual ha sido estimada en la referencia [5] a un valor en el rango (0.1, 0.2).

Los casos observados están entre un décimo y dos décimos de los casos no observados.

Adoptaremos un valor de k = 0.2 cercano a r = 1/5, el cual es simplemente un estimado.

El cociente entre el número de recuperados observados a un tiempo dado y el número total de recuperados k * podría ser también una constante en la zona de tiempos pequeños, ya que la solución es exponencial. No asumiremos que k * coincide con el valor de k, aunque en los gráficos representaremos también la magnitud

que constituyen los recuperados observados en el caso de que k * = k. Por lo cual este número no constituye una predicción para el número de recuperados observados.

Consideremos la solución del sistema de ecuaciones (1,2,3) que describa aproximadamente la lista de valores para el número de los infectados activos y sus incrementos diarios observados por el Sistema de Salud de Cuba entre los días 11.03.20 y 3.04.20. La solución del sistema debe describir los valores de dicha lista después de divididos por el factor k = 0.2

Los datos para el número de infectados crecen rápidamente en forma compatible con la conocida evolución exponencial de las soluciones SIR cuando la cantidad de infectados es pequeña. El valor de γ describe un decaimiento exponencial de los infectados si no hay contagio (β = 0). Dado que el tiempo típico en que se cura cada enfermo es de alrededor de 15 a 20 días, en esta sección adoptaremos el estimado de γ = 1 15 = 0.066. Se obtuvieron valores de β que permiten una aproximación de los datos observados para I o (t).

Se resolvió entonces el sistema de ecuaciones SIR fijando las condiciones iniciales para I(t) en el tiempo nulo I(0). Estas condiciones iniciales se ajustaron con vistas a reproducir los datos reportados. Los valores obtenidos de los parámetros fueron

La solución obtenida para I(t) y su derivada se muestran en la figura 2. [11]). La curva y puntos azules corresponden a los infectados predichos y observados, respectivamente, y la curva y puntos amarillos a la derivada respecto al tiempo predichos y observados. Las predicciones de la curva continua para tiempos mayores a los usados para este gráfico, al ser comparados con los datos que van apareciendo cada día, brindan una idea acerca del funcionamiento de las medidas de confinamiento a partir del día 24 de Marzo del 2020.

Puede observarse que la evolución presenta el carácter exponencial en la región de tiempos anterior al confinamiento, pese a las fluctuaciones de los datos. Para un intervalo de tiempo mayor: (0, 200), la evolución temporal para el número de infectados muestra un máximo como se ilustra en la figura 3, que presenta además las curvas del número de susceptibles y recuperados (considerando k * = k). : La figura muestra las curvas de infectados asociadas a tres valores distintos de la relación entre el número de infectados observados y la total: k = 0.411, 0.2, 0.1 que corresponden en orden a las curvas con valores crecientes de su máximo. Debido a la no linealidad del sistema de ecuaciones SIR, la cantidad máxima de infectados decrece con la disminución del número k de infectados no observados por cada infectado total. La no linealidad del sistema se sigue de que el número de enfermos no puede superar a la población.

del mínimo en el número 1/k. La no linealidad se produce debido a que el número total de infectados no puede nunca ser superior a la población.

IV. RELEVANCIA DEL PARAMETRO β * − γ A continuación discutiremos las soluciones del sistema SIR en los casos de que el número de infectados es mucho más pequeño que la población I ≪ N . Esta aproximación es relevante con vistas a discutir los casos de los países que han superado la epidemia, en estos países esta relación se cumple. En este caso el número de susceptibles se puede aproximar por la misma población del país S(t) ≈ N .

Por tanto el sistema de ecuaciones (1,2,3) se simplifica a la forma

Dado que las ecuaciones son lineales, las soluciones resultan exponenciales dadas por:

donde i constituye elúnico parámetro libre de la solución. Para países con millones de habitantes, como antes se mencionó, la solución exponencial es una muy buena aproximación para tiempos en que I(t) ≪ N.

En este punto es de interés subrayar que si en esas ecuaciones se considera β * como una variable dependiente del tiempo, el signo de β * (t) − γ determina el signo de la derivada temporal de I(t). Es decir, que la magnitud β * (t) − γ brinda un factor tan relevante como si la epidemia crece o decrece en el instante considerado.

En el caso que no hay contagio β = 0, por lo cual el valor de γ corresponde predecir un decaimiento exponencial de los infectados (caso de China). Sin embargo el tiempo típico en que se cura cada enfermo es de 15 a 20 días. Por lo tanto, adoptaremos en esta sección el estimado de γ = 1 15 = 0.066. Tal como comentamos en la Introducción, las soluciones exponenciales tienen un tiempo característico de crecimiento o decrecimiento determinado por el número β * − γ. Si esta cantidad resulta positiva la solución del problema crece indefectiblemente, independientemente de los valores especficos de I y R en el momento dado. Esta es una propiedad relevante en la dinámica de este problema. Para que I decrezca en la inmportante región de los bajos valores es imprescindible que el valor en el tiempo de β * − γ resulte negativo. De acuerdo a esto, en todos los países en que se ha logrado la recuperación de la epidemia, se ha podido hacer que esa cantidad sea negativa, dando un máximo de infectados activos con I ≪ N .

Sin embargo, es también conocido que aunque el país imponga aislamiento total a partir de cierta fecha, las curvas de infección en ningún caso comienzan a bajar instantaneamente.

Es decir, aunque es lógico suponer las medidas deben fijar instantaneamente la condición β * = 0 (ausencia de transmisibilidad) los datos de infección niegan esta propiedad y las pendientes continuan siendo positivas días después de la fecha de confinamiento. Analicemos las causas de este comportamiento en la siguiente sección.

Describamos ahora un modelo cualitativo que brinda una razón por la que el valor de β * = 0 no se hace cero inmediatamente después de tomar las medidas de aislamiento. Es decir, que un día después de la implantación del confinamiento, y durante digamos aproximadamente veinte días β * debe decrecer hasta anularse. La dependencia temporal en ese intervalo no es conocida. Solo es de esperar que la función tenga una disminución brusca el preciso día en que comienza el aislamiento, dado que las condiciones de contacto de los infectados con su entorno cambiaron drásticamente. Una vez que la transmisibilidad se anula, la curva de decaída del número de infectados I(t) debe tener un carácter exponencial con tiempo de decaimiento γ. Como antes mencionamos la curva de infección de China reportada en el sitio web www.worldometer.info [11], permiten estimar el valor de 1/γ entre 15 y 20 días.

Haremos un comentario final acerca de las suposiciones del modelo. Considerar β * = 0 luego de un tiempo de duración de la afección después de instaurado el aislamiento, es válido si se supone que este aislamiento es unipersonal. Es decir si cada persona se encuentra aislada. Pasado este intervalo, el número de susceptibles no puede variar con el tiempo pues no es posible infectarlos. Siendo Alemania uno de los países más desarrollados, esa condición pudiera satisfacerse aproximadamente. Como se verá en la siguiente subseccción, el modelo funciona bastante bien para ese país. Sin embargo, en otras situaciones puede suceder que al final de un período de duración después del confinamiento, la tasa de contagio comience a decrecer a partir de un valor disminuído. Esto es de esperar en países donde el aislamiento se aleje bastante del individual, donde existe aglomeración de personas en la familia media. En esos casos, supondremos que pasado el citado intervalo de tiempo los valores de β * disminuyen exponencialmente con una constante de decaimiento cuyo valor controlará el máximo de I o (t). A continuación el modelo cualitativo descrito de la evolución de β * bajo condiciones de aislamiento se aplica a describir las curvas de infectados de Alemania y Cuba.

Consideremos en esta subsección una descripción de las curvas de infección de Alemania y Cuba en base al modelo simple descrito. Para ello, primeramente fijamos los parámetros β * y γ en el comienzo de crecimiento exponencial de la infección en ambos países. El valor de la relación k entre el número de infectados observados y el total se tomó como k = 0.2. Nótese que la curva continua (exponencial en la aproximación lineal) sigue muy exactamente a la observada en ese intervalo. En el rango 20-40 días la variación de la función β * se muestra en la figura 6.

Note que la caída exponencial del número de infectados observados comienza aproximadamente un período de duración de la enfermedad después adoptado el aislamiento. muestra esta variación. Ajustando la dependencia lineal de β * para tiempos posteriores al instante de aislamiento, se logra entonces describir satisfactoriamente la curva de infección de Alemania, como lo muestra la figura 5.

Puede decirse que el caso de Alemania brinda un ejemplo de que la correcta implantación de las medidas de aislamiento puede determinar un decaimiento exponencial de la pandemia, transcurrido aproximadamente un período medio de duración de la enfermedad. Pensamos que este efecto pudiera ser relevante para explicar los casos de otros países en esta etapa como Corea del Sur, Austria, Suiza, etc.

Posteriormente el mismo modelo se aplicó a la curva de infección de Cuba, asumiendo la fecha del 24 de marzo 2020 para la imposición del aislamiento. Tomando γ = 0.05, para el parámetro β * derivado de los datos diarios de infectados brindados en la referencia [11], se obtuvieron los valores β * = 0.307088, γ = 1/20. una dependencia exponencial del tipo

donde en este caso, tomamos τ = 17 como el tiempo de medio de la enfermedad. Las curvas que se muestran en la figura 7 para tiempos mayores que 24 + τ corresponden a los valores de α = 0.6, 0.3, 0.15, 0.075, 0.0375. Estas consideran seis formas de decaimiento exponencial de β * con vistas a intentar describir la esperada disminución de β * a suceder después de establecido el aislamiento y esperar un tiempo de duracion de la enfermedad.

Como se comentó en la discusión del modelo, en países en que el confinamiento se logra con mas dificultad, solo cabe esperar que β * decaiga despues de esperar un tiempo τ a partir del día de aislamiento. Es interés entonces comparar las observaciones que se ofrecen por el Ministerio de Salud Pública con las curvas de infectados para varios valores del parametro α. Obsérvese que para α = 0.6 la exponencial se reduce bastante en el curso de dos días, por lo que para ese valor se puede considerar que se está imponiendo β * = 0 una vez pasado un período medio de duración de la enfermedad. Esto puede considerarse como una buena aproximación de una respuesta similar a la de Alemania. Para valores mayores de α las curvas de la figura predicen máximos de mayor valor que van apareciendo a tiempos también superiores. Los tiempos a que ocurren están descritos por los ceros de la función Como ya mencionamos, la figura 9 muestra las curvas de I ′ (t)/I(t) = β * (t) − γ para el modelo y para los datos, estimada para estos por la razón entre el número de enfermos reportados diariamente y la cantidad total de enfermos activos. A pesar de las fluctuaciones, debidas a que la cantidad de casos es aún reducida (respecto a la población), se indentifica cierta coherencia con la dependencia temporal de la β * (t) − γ asumida en el marco del modelo considerado. La dependencia más allá del día 16 de abril, en que se términa de redactar este trabajo, debe decidir cuan válida es la suposición sugerida por el modelo de Alemania: considerar que β * (t) debe tender a cero después de un tiempo de duración medio de la enfermedad.

Una sugerencia importante que puede extraerse de las figuras 9 y 7 se refiere a asumir que la curva azul de los datos para I ′ (t)/I(t) en 9 se debe esperar que se apegue a alguna de las exponenciales ploteadas en ella. Si ello es así, se sigue que las cotas de un máximo no superior a 1,000 o 2,000 casos, a suceder antes del 12 de mayo, pueden resultar válidas como indica la figura 7. Figure 9: Se ilustran las curvas de I ′ (t)/I(t) = β * (t) − γ para la solución y para los datos, estimada para estos por la razón entre el número de enfermos reportados diariamente y la cantidad total de ellos que permanecen enfermos dicho día (enfermos activos). El gráfico muestra cierta semejanza entre la β * (t) asumida en el marco del modelo con la observada. Las 5 curvas exponenciales que aparecen corresponden a los varios valores de α = 0.6, 0.3, 0.15, 0.075, 0.0375.La curva gruesa corresponde a α = 0.15 . Esta figura y la figura 9 sugieren que el máximo del número de casos podría estar acotado entre 1,000 y 2,000, si la curva azul de I ′ (t)/I(t)observado corta el eje horizontal antes del 12 de mayo. 

En esta subsección realizaremos un estudio experimental del cambio de la tasa de contagio β para varios países. Estos resultados los comparamos con el modelo presentado anteriormente, llegando a la conclusión de que efectivamente esta tasa de contagio variable se ajusta a los datos, y se reduce con el proceso de cuarentena. Por lo cual el estudio de la dinámica de esta tasa de contagio es relevante. Figure 11 : Número de infectados predichos por el modelo SIR en función del tiempo. Se considera una taza de detección de k = 0.14 [5, 12] . En la primera fila, se dan los graficos de infectados totales y observados, respectivamente, considerando una tasa de contagio variable, ajustada a datos del país. La extrapolación a grandes tiempos se hace empleando la tasa de contagio al 16.04.20. La segunda fila muestra la evolución de infectados totales y observados para el caso de imponer un confinamiento más estricto a finales de abril (tabla).

16.04.20 construimos un modelo SIR para Cuba dividido en cuatro etapas, considerando valores de β * dependientes del tiempo. Los valores se muestran en la tabla I. Estos valores de β * locales se emplean para construir dos escenarios, el primero con tres valores de β * y extrapolando la evolución para tiempos mayores con laúltima tasa de contagio calculada.

El segundo, suponiendo que a finales de abril el β * se reduce dandoR 0 < 1.

En la figura 10 se muestra la solución del SIR, empleando los valores β * obtenidos haciendo ajustes exponenciales locales mediante mínimos cuadrados. El panel izquierdo de la figura 10 muestra el ajuste a los datos, y el panel derecho de 10 destaca que sucedería a la curva si a finales de abril disminuye la tasa de contagio al nivel β * − γ < 0.

La figura 11 muestra en la primera columna la situación hipotética de evolución del modelo SIR si la tasa de contagio continua siendo la observada al 16.04.20. El pico de la infección sería dilatado hasta septiembre, y alcanzaría los 200,000 infectados activos observados. Se considera una tasa de detección k = 0.14 [5, 12] lo que diría que el pico real seria de aproximadamente 1.5 millones de personas. Este escenario diría que la mayor parte de la población del país se enfermaría, como se puede ver en el panel izquierdo de la figura 12, y no es deseable. De aquí la necesidad de confinamiento. En la segunda columna de la figura 11 se muestra la situación hipotética que debido a las medidas de confinamiento, a finales de abril se alcance un β * = 0.0384309 dado en la quinta columna de la tabla I.

En este caso el pico de infectados activos se alcanzaría a finales de mayo y los valores observados estarían en el orden de los 1200, los reales más bien en los 8,000 casos. Esto se puede ver también en el panel derecho de la figura 12 donde se observa claramente que la población infectada sería una pequeña fracción de los 12 millones de habitantes.

Este escenario ideal es una muestra clara de que el máximo que queremos alcanzar no es el máximo standard de la evolución del SIR, si no un máximo logrado cuandoR 0 < 1.

Este es una propiedad importante a tener en cuenta por las personas que en estos tiempos deseen comenzar a analizar esta pandemia.

Para aclarar aún más nuestra idea mostraremos las curvas de Alemania y Corea del Sur, esta ultima ya en fase de salida de la epidemia. Las figuras 13 y 14 muestran la evolución de la epidemia en estas dos naciones empleando un modelo SIR con tasa de contagio Figure 13 : En la primera fila el panel de la izquierda muestra la evolución de los infectados para Alemania de acuerdo a los datos experimentales (puntos azules) en a un modelo SIR con tasa de contagio β variable (línea naranja). En la primera fila el segundo gráfico muestra el número de I + R de los datos (puntos azules) confrontado con el modelo (línea naranja). En la segunda fila se muestra primero la variación de la tasa de contagio en el tiempo, y en el segundo gráfico se superpone el ajuste de una de exponencial (línea) a las βs locales (puntos) a partir del confinamiento. Se considera γ = 1/20. Alemania se encuentra en la región donde β * − γ < 0.

variable en el tiempo, con vistas a reflejar el efecto del confinamiento. Las líneas sólidas representan a las soluciones de las ecuaciones diferenciales del modelo SIR empleando la tasa β(t) obtenida de realizar ajustes locales. En las Tablas II y III se representa la evolución de los valores de las tasas de contagio β,R 0 y γ(R 0 − 1). Se observa que ambos países alcanzaron la regiónR 0 < 1.

En el trabajo se exploraron dos descripciones de la pandemia. Una de ellas constituye un modelo empírico en el cual se considera que desde el punto en que se establece el confinamiento, la tasa de contagio debe, al menos, empezar a decrecer tendiendo cero después de un período de duración de la enfermedad (1/γ) (aproximadamente 15 a 20 días). Este modelo es capaz de describir bien el comportamiento de la epidemia en países como Alemania. El segundo es un modelo SIR con tasa de contagio variable, la cual se ajusta experimentalmente, y su variación se asume que se produce a consecuencia de la cuarentena. Estos análisis sugieren que la tasa de contagio a partir del día de aislamiento se comporta aproximadamente como una exponencial. Ambas descripciones coinciden, y el enfásis de ambos análisis radica en que un control de la epidemia sólo se logra con un confinamiento riguroso. Por lo cual analizando la evolución de la epidemia, resulta muy importante el monitorear los valores de β instantáneos para medir si el confinamiento está siendo lo estricto que se necesita. Esto es, con vistas a controlar la pandemia con un número de infectados muy inferior a la poblacion se requiere que en cierto período de días se cumpla la condicion β * − γ < 0 (R 0 < 1). En los días del 12-04-20 al 18.04.20 la tasa de contagio de Cuba está enR 0 = 1.92154, por lo que aún no han sido totalmente Figure 14 : El panel de la izquierda muestra la evolución de los infectados para Corea del Sur de acuerdo a los datos experimentales (puntos azules) y a un modelo SIR con tasa de contagio β variable. El panel derecho muestra la variación de la tasa de contagio en el tiempo. Se considera γ = 1/20. Corea del Sur se encuentra en la región donde β * − γ < 0. El modelo para la evolución de β aplicado al caso cubano, predice que la epidemia pudiera concluir inclusive a finales de abril o mediados de mayo si las medidas de aislamiento tomadas en el entorno del 24 de Marzo, resultaran efectivas. En este caso optimista, el máximo número de infectados podría resultar en cerca de 1000 − 2000 infectados activos con el máximo apareciendo entre finales de abril y el 12 de mayo. El valor del máximo crecería a medida que este tarde mas en realizarse.

También en los modelos de β variables a pedazo en el tiempo, se asumió una implantación efectiva más tardía del aislamiento a finales de abril, que podría definir a finales de mayo un pico de infectados activos del orden de los miles de personas. En esta situación optimista el número de personas máximo en estado grave estaría en el orden los cientos.

En el caso de no lograr controlar la evolución de la epidemia, y continuar con la tasa de contagio al día de hoy los casos graves rondarían los 20000, y este pico se alcanzaría en el mes de septiembre.

Nos gustaría destacar que el mensaje importante de este trabajo es el hecho de que la dinámica de los parámetros que controlan la evolución de la epidemia es relevante. En particular la evolución de la tasa de contagio β (o deR 0 − 1, o de I ′ (t) I(t) ) debe tomarse muy 

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